通过数学揭秘宇宙的起源，宇宙大爆炸的数学证明

小王子排骨

宇宙学是研究整个宇宙的动力学行为的学科。现代宇宙学目前被大爆炸理论所主导，该理论试图将天文学和基本粒子物理放在一个框架中。λ冷暗物质模型就是一个例子，我们将在下面更详细地讨论它。
顾名思义，这个模型包括许多类型的物质和能量，例如：

• 暗能量（这里用宇宙常数λ表示）
  
• 假设的冷暗物质（缩写为CDM）
  
• 普通物质。
  

• 图1：在左边，你可以看到一个星系团，它是遍布整个宇宙网的节点。右边是可观测到的对数尺度宇宙的图解。
  

现代宇宙学诞生于爱因斯坦发表的论文《广义相对论的宇宙学思考》，该论文将他的引力理论应用于整个宇宙。

• 图2：爱因斯坦的论文《广义相对论的宇宙学思考》，由此诞生了现代宇宙学
  

宇宙学的标准模型

我们目前宇宙学的标准模型是λ CDM。在λ CDM模型中，宇宙的总能量分为物质、暗物质和暗能量三部分。这一划分是基于来自威尔金森微波各向异性探测器的数据。

• 图3：估算的宇宙总能量分为物质、暗物质和暗能量
  

均匀性和各向同性

如果我们考虑宇宙中足够大的区域（例如，星系团），宇宙的几何形状几乎是均匀的和各向同性的（这些假设构成了所谓的宇宙学原理）。

• 均匀性是指每一点都具有相同的性质
  
• 各向同性是指各个方向的一致性。
  

• 图4：没有各向同性的均匀性的例子，反之亦然
  

宇宙的度规

以度规张量g为例，它捕捉了所有时空的几何和因果结构，被用来定义诸如时间、距离、体积、曲率、角度以及未来和过去的分离等概念。均匀性意味着g在宇宙的不同点上不会改变。各向同性是指g对于时空中任何一点是球对称的。这两个性质的一个结果是度规g的空间部分的曲率K是常数。
现在考虑一个n维欧几里得空间。

• 图5：欧几里得空间
  

根据舒尔定理，如果给定点的一个邻域内的所有点都是各向同性的，且空间的维数等于或大于3，则曲率K在整个邻域内都是常数。

• 图6：根据舒尔定理，如果在P的邻域内所有点都是各向同性的，且空间的维数等于或大于3，则曲率K在整个邻域内是恒定的。
  

在宇宙模型中，曲率K在任何地方都是常数，因为我们假设宇宙是全局各向同性的。每个各向同性点的黎曼曲率张量可以写成：

• 方程1：曲率处处为K常数的宇宙的全局各向同性模型的黎曼张量。
  

一个非零的黎曼曲率张量是这样一个事实的结果，当矢量平行移动回原点后，它就变成了一个不同的矢量。

• 图7：一个非零的黎曼曲率张量是矢量（平行）移动回起点后的结果，它变成了一个不同的矢量
  

请注意，我们的宇宙只是在空间上是整体对称的，而不是在时间上（我们从观察中知道，宇宙正在膨胀）。行元素可以写成：

• 方程2：函数R（t）是比例因子，dσ²是线元素的（角）空间部分。
  

其中R（t）表示宇宙空间切片的时间演化，告诉我们这些切片在t时刻有多大。线元素的空间角部分可以写成：

• 方程3：宇宙空间切片的度规。
  

张量γ是均匀的和各向同性的。u坐标是空间切片上的坐标，称为移动坐标。保持恒定u的观测者在运动，他们认为宇宙是各向同性的。
插曲

很明显，时空点和时空坐标是两个完全不同的概念。正如我在之前的一篇文章中提到的，坐标仅仅是标签，他们的选择不会改变物理定律。当a（t）发生变化时，物理点的位置也发生变化，但它们在移动坐标系中的距离保持不变。

• 图8：虽然宇宙尺度因子a（t）增加了（宇宙的大小增加了），但移动的距离却没有
  

相应的里奇张量则为：

• 方程4：里奇张量对应于方程3。
  

我们的宇宙模型是极大对称的。极大对称意味着球对称。从卡罗尔对史瓦西黑洞的讨论中可知：

• 方程5：球对称空间度量可以写成这种形式。
  

其中r为径向坐标：

• 方程6：二维球上的度规
  

为了继续，我们将需要引入张量的概念。让我们来考虑一些例子：
零阶张量是一个标量，一个由单个元素（如实数）描述的量。温度是一个标量，因为在某一点它是一个单独的数字。

• 图9：蛋白质片段的热振动幅度随温度升高而增大。
  

向量是一个一阶张量：

• 图10：一个向量的例子
  

为了理解高阶张量，我们跟随狄拉克，首先建立一个特殊的二阶张量：

• 方程7：一个二阶逆变张量的例子。
  

这是一种特殊的张量。在新的坐标系下，x→x’张量T变换为：

• 方程8：方程7中的张量在坐标变换后的变化。
  

加上几个类似于T的张量，我们得到一个一般张量：

• 方程9：一般二阶张量的一个例子。
  

• 图11：二阶张量的图解
  

正如狄拉克所指出的：

关于一般张量的重要事情是，在坐标的变换下，它的分量的变换方式与T相同。

因为有两个上标，这个张量叫做逆变张量。协变张量有两个下标和类似于方程8的变换，但是在分母中有素数坐标（如果流形上的每个点都与一个张量相关，我们就有一个张量场）。张量是写广义相对论方程所必需的，因为如果一个张量方程在一个坐标系中成立，那么它在所有坐标系中都成立。
由于广义相对论遵循一般协方差原则，根据该原则，物理定律的形式不应因我们如何标记时空点而改变，张量的使用是至关重要的。
找到度规

让我们回到方程5。下一步是找到与这个度规对应的函数β（r）。为此，我们需要爱因斯坦场方程（EFE），由：

• 方程10：爱因斯坦场方程。
  

• 图12：根据爱因斯坦场方程，质量之间的引力效应是它们时空扭曲的结果
  

这里：

• 二阶张量R被称为里奇张量，它衡量时空的几何性质（局部）与通常空间（欧几里得）有多少不同。
  
• 张量g是度规张量
  

• 方程11：出现在爱因斯坦场方程中的度规张量g。
  

在最简单的情况下，平坦的闵可夫斯基空间，度规张量g为：

• 方程12：平坦闵可夫斯基时空的度规张量。
  

• 标量R是标量曲率R（R的迹）。
  
• λ（宇宙常数）等于真空能量（与暗能量有关）。
  
• 右边的二阶对称张量T是能量-动量张量，其形式是：
  

• 方程13：应力-动量张量T的分量。
  

其中ρ是能量密度。
回到方程5，我们计算张量R的分量，经过一些代数运算，我们得到了以下关于dσ²的表达式：

• 方程14：新的球对称空间度规。
  

参数k决定空间曲面的曲率，通常归一化为：

• 方程15：参数k决定空间表面的曲率。
  

• 图13：与具有正、负和零曲率的宇宙相关的方程15中k的三个可能值。
  

对称超曲面随时间增加的完全度规称为罗伯森-瓦尔克度规

• 方程16：罗伯森-瓦尔克度规
  

为了求出a（t）我们需要应用爱因斯坦场方程。保持行元素不变：

• 方程17：重新定义a（t）， r，k。
  

注意：

• a(t) 是无量纲的
  
• r是距离的维数
  
• κ不受+1，0，-1的限制
  

RW线元素变为：

• 方程18：经过上述变换后的新RW线元素。
  

现在，我们可以使用爱因斯坦场方程来推导尺度因子a（t）的微分方程。我们先把右边写下来，通常的选择是把爱因斯坦场方程中的物质和能量模拟成在运动坐标中处于静止状态的完美流体。张量能量-动量T变成：

• 方程19：静止坐标系下的完美流体的能量-动量张量。
  

其中，ρ是质量-能量密度，p是压力。在静止坐标系中，完美流体的密度ρ和各向同性压力p都具有完全的特征。它有以下三个特性:它没有剪应力、粘度或热传导。
利用能量守恒，由的ν=0分量得到：

• 方程20：静止坐标系下的完美流体的能量-动量张量。
  

得到了：

• 方程21：宇宙的能量守恒。
  

如果p/ρ等于某个常数w，方程可以立即积分。我们得到：

• 方程22：能量密度对w的依赖关系。
  

宇宙流体的类型

宇宙学流体最常见的形式是：
物质（包括暗物质）：零压力下的非碰撞非相对论性粒子。例如常见的恒星和星系。对a的依赖是由于宇宙膨胀导致的密度下降：

• 方程23：零压力的非碰撞非相对论性粒子。
  

辐射：电磁辐射和有质量但运动速度非常快的粒子（基本上变成光子）：

• 方程24：电磁辐射和有质量但运动速度非常快的粒子。
  

真空能量：

• 方程25：真空能具有恒定的能量密度和负压。
  

注意，用方程19中的T，我们可以用两个量来描述物质：它的密度ρ和压力p，这两个量都只取决于a（t）：

• 利用爱因斯坦场方程，经过一些代数运算，我们得到以下关于a（t）的方程。
  

• 方程26：弗里德曼方程。
  

如果我们做替换：


得到：

• 方程27：采用上述代换的弗里德曼方程。
  

如果a（t）服从方程27，则方程18称为弗里德曼-罗伯森-瓦尔克度规。
密度参数

密度参数是决定宇宙形状的一个有用的量。定义为：

• 方程28：密度参数。
  

时空的几何形状取决于Ω的值：

• Ω< 1对应于开放的宇宙
  
• Ω=1对应于平坦的宇宙
  
• Ω> 1对应于封闭宇宙
  

尺度因子的动力学：求解弗里德曼方程

如本文开头所示，宇宙的能量是由不同的物种组成的，我将用下标i进行索引，如果我们知道:

• 每个i的能量
  
• 第i个方程
  
• 空间曲率k
  
• 宇宙常数λ
  

例如，我们可以精确地解出第一个弗里德曼方程，假设所有的能量成分都按照幂律演化：

• 方程29：我们假设所有的能量成分都是幂律。
  

与方程22相比，我们得到如下关系：

• 方程30：方程22和方程29中指数之间的关系。
  

我们可以将曲率的贡献视为w=-1/3且n=2时的一种虚构的能量密度。这让我们可以写得很优雅：

• 方程31：哈勃参数的平方表示所有形式的能量（包括虚构的“曲率能量”）的能量密度。
  

其中H是所谓的哈勃参数。
现在，在宇宙膨胀的不同阶段由不同类型的能量密度主导。利用弗里德曼方程，我们得到：

• 方程32：a（t）的时间演化。
  

• 图14：尺度因子a（t）（与宇宙的大小有关）在数十亿年里的演变。所示的所有模型都是弗里德曼方程的解，只改变参数
  

膨胀的气球和膨胀的宇宙的类比如下图所示。

• 图15：星系的运动对应于点的运动
  

宇宙大爆炸

所有这些解在a（t=0） =0处都有一个奇点。这个奇点被称为大爆炸。有三件事必须提到：

• 大爆炸理论并没有描述在已经存在的时空中发生的爆炸（与许多非专业人士的观点相反）。
  
• 斯蒂芬·霍金和罗杰·彭罗斯证明了奇点的存在并不仅仅发生在FRW宇宙中，而是发生在任何具有非负压强p和正能量密度的宇宙中。
  
• 在a=0时，能量密度变得无穷大，因此广义相对论在这一点上是无效的（人们可能需要一个量子引力理论来更好地理解那里发生了什么）。
  

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