宇宙学 | 弗里德曼方程(Friedmann-EQ)的物理图像

差点九零后

一、基本假设

弗里德曼方程（Friedmann equations）由苏联物理学家弗里德曼于1922年得出，是在广义相对论框架下描述空间均匀且各向同性的宇宙学模型的方程。这个模型做出了如下非常简单的假设，

• 广义相对论；
  
• 宇宙学基本原理：宇宙是均匀且各向同性的。
  

Figure1 CMB

<hr/>二、具体内容

从以上两点假设我们可以得出以下结论：
1. 宇宙的时空性质可以用爱因斯坦场方程来描述。
R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu \nu}
也就是说，我们只需要知道描述这个宇宙时空的度规和宇宙中物质和能量分布的能动张量，就可以得出宇宙随时间的演化关系。
2. 宇宙的时空是均匀且各项同性的，宇宙中的物质分布也是均匀的。
这里要求空间具有最大对称性，可以推导出这个度规的形式为，
ds^2=-dt^2+a^2(t)\left( \frac{1}{1-Kr^2}dr^2+r^2d\theta^2+r^2 \sin^2{\theta}d\phi^2 \right)

注：具体推导需要一些数学知识，例如Killing矢量，可详见温伯格《引力和宇宙学》。

据此可知，

• 时间分量为 g_{00}=-1 ，和闵氏时空相同，时间均匀、线性地流逝。
  
• 空间分量表示的是一个三维球面，其中 r^2d\theta^2+r^2 \sin^2{\theta}d\phi^2 是我们熟悉的二维球面， \frac{1}{1-Kr^2}dr^2 表示这个球面的弯曲程度， K 就是空间曲率。 K=0 时为平坦的宇宙。
  

这里你也许感觉到抽象——因为生活在三维空间中的人类无法直接感知三维球面，但我们可以类比一下，二维球面由无数个半径不同的一维球面（圆）组成，三维球面则是由无数个曲率不同的二维球面组成的。



Figure2 三维球示意图

• 空间各分量都有一个与时间有关的标度因子 a(t)，或称为膨胀参数。
  

这个参数标度了空间线元长度（空间最近邻两点的距离），它随时间的变化，也是我们整个宇宙空间尺度的不断变化。不过这里需要注意的是，这里指的是坐标系上两点距离变化，不是坐标的变化，这里存在物理距离的改变。
例如，在一个坐标轴上，我在 x=0 处，你在 x=3 处，假设我们距离3m，这个空间尺度膨胀2倍以后，我们两个的位置仍然是 x=0, x=3 ，但我们之间的物理距离却变成了6m。物体是跟随时空背景一起运动的，所以该坐标系又称为共动坐标系。



Figure3 共动坐标系与尺度因子

3. 此外，物质均匀分布，意味着能动张量取理想流体的形式——压强和密度在每个点和各个方程均相同。
T^{\mu }_{\nu}=\left( \begin{array}{cccc}-  \rho& 0 & 0 & 0 \\  0 & P & 0 & 0 \\  0 & 0 &P & 0 \\  0 & 0 & 0 & P \\ \end{array} \right)

为什么压强是动量流密度？在该文章最后的"相关文章"中，文章“理解物理中的张量”有提到。

在此基础上，代入爱因斯坦场方程可以得到，
\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2+\frac{K}{a^2}=\frac{8\pi G}{3}\rho
\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2+\frac{K}{a^2}+2\frac{\ddot{a}}{a} =-8\pi GP
上面两个式子分别是时间-时间分量和空间-空间分量的弗里德曼方程。

计算从略，你可以在任何一本广义相对论和宇宙学书中见到。

<hr/>三、方程的意义

定义哈勃参数 H= \frac{\dot{a}}{a} ，该参数表征了宇宙的膨胀速度（因为有尺度因子对时间的一阶导数）。代入到空间分量的方程，
H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{K}{a^2}
现在应该能够看出，膨胀速度和物质密度 \rho 、空间曲率 K 直接相关。我们如果可以测得当前宇宙的空间曲率和物质平均密度，就可以预测宇宙的演化。
我们联立两个弗里德曼方程，还可以得到加速度方程，
\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left( \rho+3P \right)
由此可见，宇宙膨胀的加速度也是和物质分布（物质的能动张量）息息相关的。


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我好像太高估我自己了...

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我这些写的都比较简略，你可以就看看大致的物理图像[飙泪笑]

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请问一下标准宇宙学模型是什么时候在弗里德曼方程中加上真空能量的？1998年之后吗？又是谁修改的[谢邀]

海中波涛

你是说宇宙学常数吗？

身后的我

嗯嗯

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这个好像早在爱因斯坦提出宇宙学常数之后就有人讨论这种模型了，但是1998年发现可能存在暗物质之后又重新引入了，谁重新提出来的我也不清楚。

海芝戀

找到答案了，当时是勒梅特推导出来了带宇宙学常数的弗里德曼方程